偏差値の定義式の10と50の意味について考えてみた

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年末なのでこの一年を振り返らないとなぁと思って、悶々としている。早くやってスッキリすればいい。そうだ!その通りだ!なのに僕はつい高橋洋一先生の「図解 統計学超入門」を手に取って偏差値の意味について考えを巡らせてしまう。あれだな。夏休みの宿題をやらなくちゃいけないのに、ゲームが楽しくて仕方がなく、徹夜をしてしまうパターンだ。幸い?年末なので考え放題だw

標準偏差の定義式

まずは標準偏差の定義式をおさらいしてみよう。
標準偏差の定義式
分数の分子は自分の点数が平均からどのくらい離れているかを表す。分母は標準偏差(Standard Deviation)なので、全員が平均点からどのくらい離れているかを表す。では10と50はどういう意味があるのだろうか?

50の意味

物理学と一緒で統計学でも数式を理解するには具体的な数字を入れて計算してみるとよく分かる。例えば自分の得点が平均点でなるとき、
平均値の場合の偏差値
となる。

すなわち、平均点なら100点の真ん中の50という数字でイメージしやすいからだ!

問題:平均点50点のテストで0点と100点の人の偏差値がどのような値を取るのか考えてみよう。

平均点が50点なので標準偏差の最大値は50となる。標準偏差が10から50のときの偏差値を計算してみると次のようになる。
標準偏差と偏差値
標準偏差の値が小さくなるにつれて0点と100点の偏差値の差が大きくなることがわかる。この点については別の機会に考えるとして、Case.1についてどのようなデータ分布になっているか考えてみる。グラフにすると次のようになるはずだ。
データ分布
標準偏差が10なので、平均点50点の±10点の間、すなわち40〜60点の間にデータが集中している。こういう状況の中で100点を取れば偏差値100、0点を取れば偏差値0となる。

10の意味

先ほど計算した偏差値の10の部分が1だったらどうだろうか。実際に計算してみるとつぎのようになる。
1のときの偏差値
100点のときに偏差値55、0点のときに偏差値45となり、100という物差しで考えたときに非常にわかりにくい数字となる。というわけで10を掛けて、ちょうどよい、イメージしやすい数字に補正している訳だ。

というのが僕の理解である。

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この記事を書いた人

羽沢 仁

羽沢 仁

業務系システムのエンジニアとして、コンサルティング会社で5年、事業会社の社内SEとして5年、フリーランスとして6年、要求定義、設計、開発、テスト、リリース対応の業務に携わってきました。来年からは、街の○○屋さんと直接つながって、ITツールを提供するサービスを開始します。詳しいプロフィールはこちらをご参照ください。